Distributions Quasi-stationnaires Pour Certains - Lyon, France - Université Clermont Auvergne

Université Clermont Auvergne

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Lyon, France

il y a 2 semaines

Posté par:

Sophie Dupont

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Description

**Distributions quasi-stationnaires pour certains processus de sauts // Quasi-stationary distributions for some jump Markov processes**:

- Réf
- **ABG-112369**

**ADUM-47312**
- Sujet de Thèse- 22/03/2023- Contrat doctoral- Université Clermont Auvergne- Lieu de travail- AUBIERE - France- Intitulé du sujet- Distributions quasi-stationnaires pour certains processus de sauts // Quasi-stationary distributions for some jump Markov processes- Mots clés- probabilités, distribution quasi-stationnaire, processus markoviens de saut
- probability, quasi-stationary distribution, jump Markov processes**Description du sujet**:

- La distribution quasi-stationnaire est l'objet fondamental pour comprendre le comportement en temps long des processus conditionnés à la non extinction. Elle a été très largement étudiée dans la littérature mathématique pour des processus issus de modèles biologiques. Très récemment, motivée par des questions de metastabilité en physique statistique, son étude a suscité un vif intérêt pour les processus de Langevin cinétique et des conditions générales d'existence et d'unicité particulièrement adaptées aux solutions d'équations différentielles stochastique ont été explicitées par les encadrants. Nous nous proposons dans cette thèse d'élargir ce cadre d'étude à des processus de Markov déterministes par morceaux et des processus de Lévy.
- Dans un premier temps nous nous concentrerons sur l'existence et l'unicité des distributions quasi-stationnaires pour les processus de Lévy. Cette étude a été réalisée récemment dans
- [1] sur R+ et pour des processus de Lévy sur R très généraux. En nous basant sur les travaux [2,3] nous cherchons à étendre cette étude aux processus de Langevin (ou de Langevin suramorti) avec un bruit de Lévy de saut pur. Une amélioration de la fonction de Lyapunov proposée dans [3] sera le point de départ.
- Dans un second temps, nous aborderons l'existence et l'unicité des distributions quasi
- stationnaires pour certains processus de Markov déterministes par morceaux. Cette étude a déjà été réalisée dans [4,5,6] pour des vitesses discrètes où des vitesses minorées et majorées ainsi que des domaines en position bornés. Dans beaucoup de situations, ces hypothèses ne sont pas satisfaites et nous travaillerons pour étendre les résultats de [4,5,6] à des domaines non bornés en position et des vitesses non minorées.
The notion of quasi-stationary distribution is a fundamental object to understand the long
- time behavior of processes conditioned on non-extinction. It has been extensively studied in the mathematical literature for processes resulting from biological models. Very recently, motivated by questions of metastability in statistical physics, his study has raised a strong interest for kinetic Langevin processes and general conditions of existence and uniqueness particularly suited to solutions of stochastic differential equations have been explained by the supervisors. We propose in this thesis to extend this framework to piecewise deterministic Markov processes and Lévy processes.
- First, we will focus on the existence and uniqueness of quasi-stationary distributions for Lévy processes. This study has been carried out recently in [1] on R+ and for very general Lévy processes on R. Based on the work [2,3] we seek to extend this study to Langevin (or overdamped Langevin) processes driven by a pure jump Lévy noise. An improvement of the Lyapunov function proposed in [3] will be the starting point.
- Secondly, we will discuss the existence and uniqueness of quasi-stationary distributions for certain piecewise deterministic Markov processes. This study has already been carried out in [4,5,6] for discrete velocities or lower and upper bounded velocities as well as domains in bounded position. In many situations, these assumptions are not satisfied and we will work to extend the results of [4,5,6] to domains which are not bounded in position and when velocities are arbitrary small.
Début de la thèse : 01/10/2023**Nature du financement**:

- Contrat doctoral**Précisions sur le financement**:

- Concours pour un contrat doctoral**Présentation établissement et labo d'accueil**:

- Université Clermont Auvergne**Etablissement délivrant le doctorat**:

- Université Clermont Auvergne**Ecole doctorale**:

- 178 Sciences Fondamentales- Profil: mathematics with strong knowledge in probability theory.-
- 23/05/2023